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Gabriel gosta de preencher quadriculados 3 × 3 com números de forma que quaisquer três deles, alinhados na horizontal, vertical ou diagonal, tenham a seguinte propriedade: o número central deve ser a média aritmética dos seus dois vizinhos. a) Complete o preenchimento do quadriculado abaixo, iniciado por Gabriel. b) Preencha o quadriculado abaixo seguindo a mesma instrução indicada anteriormente. c) Qual será a soma dos nove números do quadriculado abaixo após Gabriel terminar de preenchê-lo?

Maria pinta, em seu caderno, figuras formadas por trapézios e hexágonos. Cada hexágono pode ser pintado de azul, bege ou cinza, e cada trapézio, de azul ou preto. Polígonos com um lado em comum não podem ter a mesma cor. A figura ao lado é um exemplo de uma pintura feita por Maria. a) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo? b) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo? c) De quantas maneiras Maria pode pintar a figura abaixo?

Os números de 1 a 9 são distribuídos ao acaso e sem repetição nas casas do quadriculado desenhado na lousa ao lado. a) Qual é a probabilidade de que a casa central seja preenchida com um número ímpar? b) Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma coluna preenchida apenas com números pares? c)Qual é a probabilidade de que o quadriculado tenha uma linha e uma coluna preenchidas apenas com números ímpares?

Uma lata medindo 20 cm × 10 cm × 10 cm, sem tampa, é sustentada por um suporte, de modo que uma de suas arestas mais curtas fique apoiada no plano horizontal e as arestas mais longas formem um ângulo de 45° com o plano horizontal, conforme mostra a figura. Suponha que um líquido seja colocado na lata, até a altura h em relação ao plano horizontal, também como indicado na figura. a) Qual é o volume total da lata? b) Explique por que a altura máxima que o líquido vai atingir é 10/2 cm e calcule o volume de líquido na lata quando essa altura é atingida. c) Faça o gráfico da função V, que fornece o volume V(h) de líquido na lata, em cm3 , quando sua superfície está na altura h, em cm.

Na figura, as circunferências de raios a e b, centradas em O e O’, são tangentes aos lados do ângulo em S e T e em S’ e T’, respectivamente. Elas também tangenciam os lados AB e AC de um triângulo ABC, em que A pertence a TT’ e BC está contido em SS’. Esse triângulo ABC tem altura h relativa à base BC. a) Calcule o perímetro do triângulo ABC quando SS’ = 10. b) Denote as áreas dos triângulos ABC, ABO e ACO’ por A1, A2 e A3, respectivamente. Explique por que a área do hexágono OSS’O’T’T é dada por A1 + 2A2 + 2A3. c) Mostre que a área do triângulo ABC é d) Mostre que, se AB = AC, então h = a + b.

Em cada uma das dez posições marcadas com as letras de A a J na figura abaixo, é colocada uma moeda. Inicialmente, todas as dez moedas são colocadas com a face coroa voltada para cima e um ponteiro aponta para a posição A. Esse ponteiro começa a se movimentar no sentido anti-horário, saltando de uma posição para a outra mais próxima. Após cada salto, se o ponteiro apontar para uma moeda com a face cara para cima, nada acontece; • se o ponteiro apontar para uma moeda com a face coroa para cima, deve-se, então, virar a moeda seguinte. Por exemplo, após o primeiro salto, o ponteiro aponta para a posição B (coroa) e a moeda na posição C é virada, ficando com a face cara para cima. a) Como ficarão as moedas nas posições C e D logo após o segundo salto do ponteiro? b) Em quais posições as moedas ficarão com as faces coroa para cima após o décimo segundo salto? c) Explique por que nunca todas as moedas ficarão com a face cara voltada para cima. d) Explique por que todas as moedas ficarão novamente com a face coroa voltada para cima após algum salto futuro do ponteiro.