Videoaula

Resolvemos os problemas 1 e 2 do Capítulo 5. 1. Todos os lados de um quadrilátero são congruentes. Ele é um quadrado? 2. Uma turma tem 25 alunos. De quantas maneiras diferentes é possível escolher um monitor e um representante? E dois representantes? E três monitores?

Resolvemos os problemas 3 e 7 do Capítulo 5. 3. Como você pode cortar 27 centímetros de uma fita de 144 centímetros sem uma régua? 7. Duas escadas de concreto, ambas com um metro de altura e dois metros de comprimento da base, estão completamente cobertas com uma tira de carpete. A primeira tem sete degraus e a segunda, nove. Qual das tiras é a mais longa?

Resolvemos o problema 4 do Capítulo 5. 4. “Se quinze crianças juntam 100 nozes, então há duas delas com a mesma quantidade de nozes.” Prove que a declaração acima é verdadeira. Para resolver esta questão, ensinamos o conceito de contrapositiva de uma afirmação lógica, que nada mais é que uma maneira alternativa de expressar a mesma afirmação. Veremos que esta simples reformulação pode facilitar a demonstração.

Resolvemos o problema 5 do Capítulo 5. 5. Uma companhia tem 67 empregados, dos quais 47 falam inglês, 35 falam espanhol e 23 falam as duas línguas. a) Quantos não falam inglês nem espanhol? b) Suponha que, além disso, 20 empregados falem francês, 12 falem francês e inglês, 11 falem francês e espanhol, e 5 falem todas as três línguas. Quantos empregados não falam nenhuma das três línguas? Esta é uma típica questão de conjuntos, e para resolvê-la introduziremos a representação de conjuntos através do Diagrama de Venn

A questão 5 do Capítulo 5 abordou o tema conjuntos. Aproveitamos este momento para fazer uma aula mais teórica, que aborda o princípio da inclusão-exclusão. Este princípio fornece fórmulas para expressar a quantidade de elementos da união de dois conjuntos A e B através da quantidade de elementos existentes em A, em B e na interseção de A com B. A ideia principal por trás deste princípio é que devemos sempre tomar o cuidado de contar cada elemento da união apenas uma vez. Mostraremos também versões da fórmula para união de mais do que dois conjuntos.

Resolvemos a letra a) do problema 6 do Capítulo 5. 6. a) É possível conectar 7 lâmpadas a uma fonte usando apenas 3 interruptores de modo que possa ser ligado qualquer número de lâmpadas, de 0 a 7? b) E se forem 8 lâmpadas e 3 interruptores? Para resolver este problema, utilizaremos uma ideia bastante comum para perguntas sobre a existência de algum objeto. Como a questão pergunta se é possível existir certa configuração de lâmpadas e interruptores, para responder esta pergunta, afirmativamente, basta que encontremos um exemplo qualquer que satisfaça as propriedades pedidas. Ao procurar algum exemplo, sempre comece pelas opções mais simples.

Resolvemos a letra b) do problema 6 do Capítulo 5. 6. a) É possível conectar 7 lâmpadas a uma fonte usando apenas 3 interruptores de modo que possa ser ligado qualquer número de lâmpadas, de 0 a 7? b) E se forem 8 lâmpadas e 3 interruptores? A solução trabalha o conceito de função. Além disso, aproveitamos para fazer uma pequena observação de que este problema está relacionado com a representação de números naturais em binário, ou seja, como soma de potências distintas de 2.

Resolvemos o problema 8 do Capítulo 5. 8. Dois termômetros de mercúrio estão lado a lado, conforme o diagrama dado. A que temperatura o mercúrio em ambos os termômetros estará à mesma altura? A solução trabalha proporcionalidade.

Resolvemos o problema 9 do Capítulo 5. 9. Há 3 (e para 4) livros em uma prateleira. De quantas maneiras os livros podem ser arrumados em ordens diferentes de modo que nenhum deles permaneça no seu lugar original? A solução são os princípios básicos de contagem e análise de casos. Observamos que este método de solução fica inviável quando a quantidade de livros aumenta

Resolvemos uma versão mais geral do problema 9 do Capítulo 5. Apresentando uma técnica mais eficiente que a análise de casos. 9. Há n livros em uma prateleira. De quantas maneiras os livros podem ser arrumados em ordens diferentes de modo que nenhum deles permaneça no seu lugar original? A solução trabalha o princípio de recursão.

Resolvemos o problema 3 do Capítulo 6. 3. O último algarismo do quadrado de um número inteiro pode ser 2? A solução trabalha uma simples análise do último algarismo. É aproveitado o gatilho para mostrar um método bem mais eficiente que a decomposição em primos, para calcular raízes quadradas exatas.

Resolvemos os problemas 4 & 5 do Capítulo 6. 4. "Temos 25 estudantes em nossa turma e cada uma tem exatamente 7 colegas da turma que são seus amigos." Por que essta afirmação é FALSA? 5. Um interessante problema de decodificação de um idioma desconhecido. A solução do problema 4 trabalha a técnica chamada de contagem dupla. A solução do problema 5 é uma esperta análise de casos.

Resolvemos o problema 7 do Capítulo 6. 7. Carol está viajando de avião. Primeiro ela leu um livro; depois dormiu; depois olhou pela janela; depois bebeu suco de laranja. Cada uma destas atividades, exceto a primeira, levou metade do tempo da anterior. Ela começou a ler seu livro ao meio-dia e terminou o seu suco de laranja às 13:00 horas. Quando Carol começou a olhar pela janela? A solução não requer nenhum conteúdo prévio, mas fala sobre as diferentes formas de abordar um problema. Um problema mais geral, com o mesmo apelo, é apresentado para melhor fixação.