Videoaula

Retas coplanares e não coplanares. Elementos que determinam um plano.

Projeção ortogonal de um ponto em um plano. Projeção ortogonal de uma reta (ou segmento) em um plano.

Posições relativas entre reta e plano. Perpendicularismo entre reta e plano. Cálculo de uma distância (diagonal de um paralelepípedo).

Nesta aula definimos a noção de ângulos entre retas reversas. Problema: ângulo entre duas arestas opostas de um tetraedro regular.

Nesta aula definimos as noções de ângulo entre reta e plano e ângulo entre planos. Para exemplificar, calculamos o ângulo entre uma face lateral e a base de uma pirâmide quadrangular cujas arestas são todas congruentes.

Nesta aula discutimos a noção de distância entre retas no espaço. A novidade em relação à geometria plana está no caso da distância entre retas reversas. Mas também neste caso, vemos que esta distância é dada por um segmento perpendicular a ambas as retas. Ilustramos o conceito em situações no cubo e no tetraedro regular.

Nesta aula apresentamos os prismas, um tipo especial de poliedro. É dada atenção especial ao caso particular do paralelepípedo. Apresentamos o cálculo da diagonal do paralelepípedo reto retângulo.

Nesta aula apresentamos as formas geométricas no espaço chamadas de poliedros. Sendo V, F e A, respectivamente, o número de vértices, faces e arestas do poliedro, apresentamos (sem demonstração) a chamada Relação de Euler: V + F = A + 2, que é válida para qualquer poliedro convexo. Apresentamos também outras relações úteis de fácil verificação. Como aplicação, calculamos o número de vértices do icosaedro truncado, famoso poliedro a partir do qual se constroem as clássicas bolas de futebol.

Nesta aula selecionamos quatro pontos específicos de um cubo de aresta a. Observamos que os quatro pontos selecionados são coplanares e calculamos a área do quadrilátero com vértices nestes pontos.

Cubo truncado: dividir cada aresta do cubo em três partes iguais. Retirar, próximo a cada vértice do cubo, uma pirâmide cuja face da base é um triângulo passando por estes pontos marcados. Nesta aula calculamos o número de diagonais deste cubo truncado.

É dado um poliedro cuja soma dos ângulos internos de todas as faces é 116*pi radianos. Quantos vértices tem este poliedro? Nesta aula obtemos uma fórmula para a soma dos ângulos das faces em termos do número de vértices do poliedro.

Um poliedro é chamado de regular se as faces são polígonos regulares congruentes e, além disto, por cada vértice concorre a mesma quantidade de arestas. Os poliedros regulares são também chamados de sólidos de Platão. Um fato notável é que existem somente 5 sólidos de Platão. Nesta aula demonstramos isto analisando os possíveis tipos de vértice.

Nesta aula apresentamos outra demonstração para o fato de existirem somente cinco poliedros regulares.

Problema: Calcular a distância entre duas faces opostas de um octaedro regular de aresta a.

Escolha um dos cinco poliedros regulares. Ligue os centros de todos os pares de faces adjacentes. Desta forma obtém-se um novo poliedro também regular, chamado de poliedro dual do original. Nesta aula analisamos quais são os duais de cada sólido regular. Em um dos casos, calculamos o comprimento da aresta do dual em função do comprimento da aresta do original.