Videoaula

Nesta aula é reestudado o algoritmo de Euclides para o Máximo Divisor Comum. Provamos por que o algoritmo sempre funciona. Propõe-se o seguinte problema: Encontrar números inteiros [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que [tex]60m+42n=6[/tex].

Nesta a aula é apresentada a relação de Bézout: Dados inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], quaisquer, mas não ambos nulos, existem dois inteiros [tex]n[/tex] e [tex]m[/tex] tais que [tex]\text{mdc}(a,b)=an+bm[/tex]. Aplicações: Se [tex]d[/tex] é um divisor comum de dois números [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], não simultaneamente nulos, então [tex]d[/tex] divide [tex]\text{mdc}(a,b)[/tex]. Seja [tex]\mathbb Z [/tex] = conjunto dos números inteiros. Dados dois inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], não ambos nulos, o menor elemento positivo do conjunto [tex]a\mathbb Z + b\mathbb Z[/tex] é [tex]\text{mdc}(a,b)[/tex]. Dois números inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são primos entre si se, e somente se, existem inteiros [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que [tex]am+bn=1[/tex].

Sejam [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] inteiros não nulos. Nesta aula, apresenta-se um algoritmo para encontrar um par de inteiros [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que [tex]am+bn=\text{mdc}(a,b)[/tex].

Proposição: Se [tex]\text{mdc}(a,b)=1[/tex] e [tex]a|bc[/tex] então [tex]a|c[/tex]. Esta importante propriedade é provada com o uso da Relação de Bézout. Também é observada a importância da hipótese [tex]\text{mdc}(a,b)=1[/tex].

Nesta aula apresenta-se uma prova desta igualdade que utiliza a importante propriedade que foi provada na aula anterior.

Nesta aula são provadas as seguintes relação válidas para mdc e mmc: Sejam [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] números naturais não nulos, então [tex]\text{mmc}(ca,cb)=c\text{mmc}(a,b)[/tex], [tex]\text{mdc}(ca,cb)=c\text{mdc}(a,b)[/tex]

Nesta aula resolve-se uma sequência de problemas envolvendo divisibilidade e números primos. Os fatos provados nestes problemas permitem concluir que a fatoração em primos, mencionada no Teorema Fundamental da Aritmética, é única.

Nesta aula são estudadas as chamadas equações diofantinas (lineares), que são equações da forma [tex]ax+by=c[/tex], onde: [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números inteiros conhecidos; [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são as incógnitas, para as quais somente são permitidos valores inteiros. Apresenta-se um critério que permite concluir se uma equação deste tipo possui, ou não, soluções. O critério diz que: A equação possui solução se, e somente se, [tex]\text{mdc}(a,b)[/tex] divide [tex]c[/tex].

Nesta aula continua-se o estudo das equações diofantinas. No caso em que uma equação diofantina (linear) admite solução, mostra-se nesta aula como todas as (infinitas) soluções podem ser obtidas a partir de uma solução particular.

Aplicando os conhecimentos adquiridos nas aulas anteriores, nesta aula são resolvidas duas equações diofantinas. Em uma delas, uma solução particular é facilmente encontrada. Na outra, não é imediato visualizar uma solução particular. Neste caso, foi feito uso do algoritmo de Euclides de trás pra frente.

Nesta aula é resolvido mais um problema que envolve uma equação diofantina em sua modelagem.