Dados inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a>0[/tex], existe um único par de inteiros [tex]q[/tex] e [tex]r[/tex] tal que [tex]b=qa+r[/tex], com [tex]r[/tex] não negativo e menor que [tex]a[/tex].
Nesta aula usa-se o Teorema do Algoritmo da dDivisão eEuclidiana, estudado na aula anterior, para resolver problemas envolvendo números inteiros. Um dos problemas é relacionado aos números primos trigêmeos.
Dois números primos são chamados de primos gêmeos quando a diferença entre eles é de 2 unidades. Por exemplo, os pares: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13.
Nesta aula discute-se as seguintes perguntas:
Quantos pares de primos gêmeos existem?
Quão grande pode ser um intervalo de números naturais consecutivos tal que nenhum deles seja primo?
Nesta aula resolve-se o seguinte problema:
Quais os três menores números, maiores que 1, que ao serem divididos por 2, 3, 4, 5, 6 e 7 deixam resto 1?
Discute-se também um critério de divisibilidade por 9.
Cuidado! Cortes nem sempre valem em congruências. Classe inversa módulo n
Nesta aula chama-se a atenção para o fato de que, em geral, não podemos cancelar um fator comum dos dois lados da congruência.
Introduz-se a noção de inversos modulares.
Construímos a tabela de multiplicação mod [tex]8[/tex].
Observamos que alguns números têm inverso módulo [tex]8[/tex] e outros não.
Construímos a tabela de multiplicação módulo [tex]10[/tex].
Observamos várias propriedades da tabela:
Simetria em relação à diagonal.
Periodicidade.
[tex](n-1)[/tex] é inverso de si mesmo (módulo [tex]n[/tex]).
Nas tabelas de multiplicações módulo [tex]10[/tex] e módulo [tex]8[/tex], observamos que alguns números têm inverso e outros não.
Vale a lei do corte quando o fator a ser cortado é primo com a base. Mais precisamente: Se [tex]cx \equiv cy \, (\text{mod } n)[/tex] e [tex]\text{mdc}(c,n)=1[/tex], então [tex]x \equiv y \, (\text{mod } n)[/tex].
Encontra-se uma solução para uma equação diofantina usando-se congruências.
Mostra-se nesta aula que:
Quando um número [tex]a[/tex] tem inverso módulo [tex]n[/tex], então este inverso é o único módulo [tex]n[/tex].
Ou seja, quaisquer dois números que sejam inversos de [tex]a[/tex] são congruentes módulo [tex]n[/tex].
Problema 1: Se [tex]n[/tex] é ímpar, então [tex]1^n + 2^n + ... + (n-1)^n[/tex] é divisível por [tex]n[/tex].
Problema 2: Para qualquer [tex]n[/tex] natural, [tex]11^{n+2}+12^{2n+1}[/tex] é divisível por [tex]133[/tex].
Nesta aula provamos que se [tex]k[/tex] é o produto dos primeiros [tex]t[/tex] números primos ([tex]t[/tex] maior que 1), então [tex]k+1[/tex] e [tex]k-1[/tex] não são quadrados perfeitos.
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