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Dados inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], com [tex]a>0[/tex], existe um único par de inteiros [tex]q[/tex] e [tex]r[/tex] tal que [tex]b=qa+r[/tex], com [tex]r[/tex] não negativo e menor que [tex]a[/tex].

Nesta aula usa-se o Teorema do Algoritmo da dDivisão eEuclidiana, estudado na aula anterior, para resolver problemas envolvendo números inteiros. Um dos problemas é relacionado aos números primos trigêmeos.

Dois números primos são chamados de primos gêmeos quando a diferença entre eles é de 2 unidades. Por exemplo, os pares: 3 e 5, 5 e 7, 11 e 13. Nesta aula discute-se as seguintes perguntas: Quantos pares de primos gêmeos existem? Quão grande pode ser um intervalo de números naturais consecutivos tal que nenhum deles seja primo?

Nesta aula discutimos Propriedades Aritméticas dos Restos. Aqui estão os fundamentos da Aritmética Modular, a ser aprofundada mais adiante.

Desafio: mostre que todo natural tem um múltiplo que se escreve somente com algarismos 0 e 1.

Nesta aula aplicamos as propriedades-restos a problemas relacionados a calendários.

Nesta aula resolve-se o seguinte problema: Quais os três menores números, maiores que 1, que ao serem divididos por 2, 3, 4, 5, 6 e 7 deixam resto 1? Discute-se também um critério de divisibilidade por 9.

Nesta aula, discutimos formas espertas de responder a este tipo de pergunta.

Observando os restos na divisão por 11 deixados pelas potências de 10, deduzimos um interessante critério de divisibilidade.

Nesta aula apresentamos um critério de divisibilidade menos tradicional.

Em algum contexto “7 + 6 = 1” faz algum sentido? Nesta aula apresenta-se a Aritmética Modular: a aritmética dos restos.

Nesta aula, resolvemos uma equação diofantina usando congruências. Construímos a tabela de multiplicação [tex]\text{mod }5[/tex].

Nesta aula chama-se a atenção para o fato de que, em geral, não podemos cancelar um fator comum dos dois lados da congruência. Introduz-se a noção de inversos modulares. Construímos a tabela de multiplicação mod [tex]8[/tex]. Observamos que alguns números têm inverso módulo [tex]8[/tex] e outros não.

Construímos a tabela de multiplicação módulo [tex]10[/tex]. Observamos várias propriedades da tabela: Simetria em relação à diagonal. Periodicidade. [tex](n-1)[/tex] é inverso de si mesmo (módulo [tex]n[/tex]). Nas tabelas de multiplicações módulo [tex]10[/tex] e módulo [tex]8[/tex], observamos que alguns números têm inverso e outros não.

Nesta aula, prova-se o seguinte resultado: [tex]a[/tex] tem inverso módulo [tex]n[/tex], se e somente se, [tex]\text{mdc}(a,n)=1[/tex].

Vale a lei do corte quando o fator a ser cortado é primo com a base. Mais precisamente: Se [tex]cx \equiv cy \, (\text{mod } n)[/tex] e [tex]\text{mdc}(c,n)=1[/tex], então [tex]x \equiv y \, (\text{mod } n)[/tex].

Encontra-se uma solução para uma equação diofantina usando-se congruências. Mostra-se nesta aula que: Quando um número [tex]a[/tex] tem inverso módulo [tex]n[/tex], então este inverso é o único módulo [tex]n[/tex]. Ou seja, quaisquer dois números que sejam inversos de [tex]a[/tex] são congruentes módulo [tex]n[/tex].

Nesta aula, mostra-se como o uso de congruências pode ajudar a responder este tipo de pergunta.

Problema 1: Se [tex]n[/tex] é ímpar, então [tex]1^n + 2^n + ... + (n-1)^n[/tex] é divisível por [tex]n[/tex]. Problema 2: Para qualquer [tex]n[/tex] natural, [tex]11^{n+2}+12^{2n+1}[/tex] é divisível por [tex]133[/tex].

Nesta aula continuamos resolvendo problemas com congruências.

Nesta aula provamos que se [tex]k[/tex] é o produto dos primeiros [tex]t[/tex] números primos ([tex]t[/tex] maior que 1), então [tex]k+1[/tex] e [tex]k-1[/tex] não são quadrados perfeitos.

Nesta aula analisamos a existência de soluções inteiras da equação [tex]15x^2 – 7y^2 = 9[/tex].

Nesta aula provamos o Pequeno Teorema de Fermat.

Este e outros problemas semelhantes são resolvidos com o uso do Pequeno Teorema de Fermat.

Nesta aula resolvemos dois problemas usando o Pequeno Teorema de Fermat.