Neste módulo introduziremos a linguagem usada para validar as argumentações matemáticas. Falaremos sobre Definições, Teoremas e algumas Técnicas de Provas. A preocupação como o rigor das argumentações é nosso guia para este módulo.

Indução matemática é uma técnica geralmente usada para demonstrar uma afirmação sobre todos os números naturais. O método consiste em dois passos. O primeiro passo, conhecido como base de indução, consiste em provar a afirmação para o primeiro número natural. O segundo passo, conhecido como passo indutivo, consiste em provar que a veracidade da afirmação para um número natural qualquer implica a veracidade da afirmação para o próximo número natural.

As aulas deste módulo foram originalmente gravadas tendo como foco o Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP. Nestas aulas, além de discutir o sistema decimal de representação dos Números Naturais, revisitamos e aprofundamos as noções de múltiplos e divisores, Números Primos (provamos aqui que existem infinitos deles), Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Aqui, aproveitamos para dar mais ênfase, por exemplo, ao Algoritmo de Euclides, que tem papel importante no estudo das Equações Diofantinas, as quais serão abordadas em outro módulo.

Na primeira parte deste módulo discutimos o sistema de representação posicional em base 10 e também em outras bases. Observar a paridade de um número natural é, simplesmente, observar se este número é par ou ímpar. Veremos na segunda parte deste módulo que, apesar de muito simples, este conceito permite resolver diversos problemas que a princípio podem parecer muito difíceis. Neste contexto, “resolver um problema” geralmente significa “demonstrar que o problema não tem solução”.

O principal objetivo deste módulo é desenvolver um método para estudar as chamadas Equações Diofantinas Lineares, que são equações da forma [tex]ax+by=c[/tex], onde: [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números inteiros conhecidos; [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são as incógnitas, para as quais somente são permitidos valores inteiros. Para isto precisaremos aprofundar nosso estudo sobre Máximo Divisor Comum. Veremos que, dados dois inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], uma extensão do Algoritmo de Euclides permite encontrar inteiros [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que [tex]an+bm=\text{mdc}(a,b)[/tex]. Esta é a chamada Relação de Bézout, da qual podemos concluir vários fatos envolvendo divisibilidade.

Você consegue pensar em alguma situação de seu cotidiano em que a igualdade 7 + 6 = 1 faz algum sentido? Neste módulo apresentaremos a Aritmética Modular: a aritmética que lida com os restos das divisões por um determinado número. Veremos que operar com os restos da divisão permite resolver problemas muito interessantes.

Neste módulo desenvolvemos uma ferramenta útil no estudo de sistemas lineares de congruências. O Teorema Chinês do Resto determina um número [tex]n[/tex] que, ao ser dividido por determinados números [tex]m_1, m_2, \ldots, m_k[/tex] deixa determinados restos [tex]a_1, a_2, \ldots, a_k[/tex], respectivamente. Neste módulo usamos conhecimentos explorados, anteriormente, no módulo “'Aritmética dos Restos'”.

As aulas desse módulo foram originalmente gravadas tendo como foco o Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC) da OBMEP. As aulas abordam métodos básicos de contagem, um assunto instigante que não se baseia na aplicação de fórmulas prontas. Não há pré-requisitos. O tema é acessível aos alunos do Ensino Fundamental.

Desigualdade é um conceito fundamental em Matemática; como nem tudo pode ser calculado de maneira exata, é útil saber controlar quão grande determinada quantidade pode ser. Neste módulo introduzimos algumas das desigualdades mais importantes, em nível elementar. Apresentamos as demonstrações de cada desigualdade, assim como aplicações a problemas e como interpretá-las relacionando-as com problemas do mundo real, como comparar tipos de taxas de juros e encontrar soluções otimizadas.

A criptografia estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la. Neste módulo vemos como propriedades dos números inteiros são aplicadas em um sistema de criptografia específico, o chamado RSA, que é o mais usado em uma grande variedade de transações que são feitas de maneira eletrônica. O sistema RSA baseia-se no fato de que, embora seja fácil encontrar dois números primos de grandes dimensões (por exemplo, 100 dígitos), conseguir fatorar o produto destes tais dois números é considerado computacionalmente complexo.

Aqui abordamos construções geométricas usando apenas régua (não graduada) e compasso. Iniciamos com construções elementares, como a mediatriz de um segmento e a bissetriz de um ângulo, que servem de base para outras construções mais elaboradas. Mais importante do que o desenho em si é a justificativa de por que as construções estão corretas. Para isto usamos conhecimentos de Geometria Plana desenvolvidos nos módulos anteriores.

Sequências aparecem frequentemente em Matemática. Há a sequência dos números naturais, a dos números ímpares, a dos números primos (infinitas!) e outras. Saber descrever bem uma sequência e compreender sua lei de formação é essencial para responder alguns problemas. Uma forma interessante de expressar uma sequência é através de uma recorrência, isto é, expressar o próximo termo da sequência como uma função dos termos anteriores. Neste módulo aprenderemos, através de muitos exemplos, como encontrar recorrências e, em alguns casos especiais, como deduzir uma fórmula fechada para o n-ésimo, termo de uma sequência a partir de uma fórmula de recorrência. Por exemplo, para a famosa sequência de Fibonacci.

Neste módulo começamos o estudo das transformações lineares do ponto de vista geométrico. Primeiro definimos o que é uma transformação linear. A partir disto, introduzimos vários exemplos interessantes e usamos o GeoGebra para fazer uma interpretação geométrica.

No módulo anterior introduzimos as transformações lineares do ponto de vista geométrico. Neste módulo a cada transformação linear associaremos uma matriz. Desta forma teremos o ponto de vista algébrico. Discutiremos as operações de composição entre duas transformações lineares, de forma algébrica e geométrica. Também discutiremos a inversão de uma transformação linear.

O que há em comum entre pontes conectando diferentes regiões de uma cidade, redes de computadores, a malha rodoviária de um país e as relações de amizade entre todas as pessoas do planeta? Apesar de os exemplos acima tratarem de assuntos a princípio nem um pouco relacionados, todos eles tratam de objetos (regiões, computadores, cidades, pessoas) e as conexões entre eles (pontes, fios, cidades, amizades). Se abstrairmos a origem do problema e nos concentrarmos apenas nos objetos e em suas relações, obteremos um grafo. Neste módulo, veremos muitos exemplos de problemas que podem ser representados através de um grafo e aprenderemos propriedades que nos ajudarão a entender melhor estas conexões e suas propriedades.

Motivados a entender como transformações lineares alteram figuras, neste módulo introduzimos o determinante de dois vetores no plano como área orientada do paralelogramo que eles determinam. A partir disso introduzimos vários exemplos geométricos para discutir como o determinante é afetado por transformações nesses vetores.

Neste módulo continuamos explorando propriedades do determinante de dois vetores no plano.

Como exatamente podemos contar um conjunto? Os pastores da Antiguidade, por exemplo, usavam pedras para contar as suas ovelhas. A cada ovelha eles associavam uma pedra. Veremos que esta noção primitiva é bem próxima da noção matemática de contagem, a qual pode ser estendida para conjuntos infinitos, desenvolvendo o conceito de cardinalidade. Uma pergunta surge naturalmente: existem infinitos maiores que outros? Quando lidamos com conjuntos infinitos, a nossa intuição começa a falhar um pouco. Por exemplo, veremos que embora o conjunto dos números racionais pareça ser maior que o conjunto dos números naturais, eles na verdade possuem a mesma quantidade de elementos. Por outro lado, também veremos que o conjunto dos números reais tem mais elementos.