Módulos de Ensino

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6^o Ano do Ensino Fundamental

Números naturais: representação e operações básicas.

Esse módulo é onde tudo começa. A invenção dos números foi a continuação da nossa necessidade natural de contar. Como os números inventados começamos a desenvolver ferramentas para facilitar trabalhar com eles. As primeiras ferramentas foram as operações que começaremos a aprender nesse módulo.

Divisibilidade

São apresentados os conceitos de múltiplos e divisores. Exploramos critérios de divisibilidade e os conceitos de múltiplos e divisores comuns. Exploramos a operação de divisão com resto e a sua relação com outras operações básicas.

Frações, o Primeiro Contato

O conceito de fração é apresentado pela primeira vez, e para isto são produzidas aulas introduzindo cada uma das operações pouco a pouco, com muitos exemplos. Em seguida é feita uma bateria de aulas com exercícios, para fixar bem o conteúdo. E por fim, frações são interpretadas como razões, e são produzidos vários exemplos e problemas relacionados.

Operações básicas

Este bloco é dedicado ao estudo das operações básicas envolvendo números naturais e decimais. Aqui apresentamos os algoritmos utilizados para realizar estas operações e explicamos o motivo de seus funcionamentos. Nas duas primeiras aulas são apresentados os vários sistemas de numeração utilizados por povos antigos e ressaltamos suas vantagens e desvantagens. Logo depois, começamos com o estudo das operações nos números naturais. Aqui não é assumido nenhum conhecimento prévio. A terceira parte é dedicada ao estudo das operações com números na forma decimal. Nesta última parte, familiaridade com o conceito de frações é um facilitador.

Fração como Porcentagem e como Probabilidade

Desta vez o conceito de fração é reinterpretado como uma porcentagem, conceito que é apresentado na primeira aula deste Módulo. São feitos muitos exemplos que mostram como essa interpretação é útil e uma grande bateria de exercícios para fixar essas ideias. Em seguida, é apresentada a ideia de “Probabilidade”. São apresentadas as ideias de eventos, espaços amostrais, casos favoráveis e possíveis e algumas propriedades operatórias simples como probabilidade da união de eventos, eventos independentes e interseção de eventos. São feitos vários exercícios simples, exercícios de concursos e vestibulares e até mesmo, ao fim do Módulo, exercícios mais avançados de olímpiadas.

Sistemas de Medidas e Medidas de Tempo

Desta vez vamos estudar algumas das diversas unidades de medida que são usadas no cotidiano das pessoas. Nesse primeiro momento apresentamos unidades de medida de tempo e de comprimento, estudando um pouco do seu uso, como fazer conversões e operações com elas e fazendo diversos exercícios para treinar estas novas ideias.

Unidades de Medida de Comprimento e de Áreas

Desta vez estudaremos unidades de medida de comprimento e de áreas, tão usadas no nosso cotidiano. O conteúdo teórico é muito curto, então esta unidade será focada, principalmente, em exercícios. São diversos exercícios de olimpíadas, concursos e vestibulares envolvendo medidas de comprimento e áreas de diversas figuras, além de muitos exercícios contextualizados.

Unidades de medida de volume

Neste bloco daremos continuidade ao nosso estudo de medidas de volume. Começamos com aulas sobre figuras planas e espaciais. Em seguida, trabalhamos com o conceito de volume e de capacidade. Por fim, apresentamos uma série de aulas de resolução de exercícios.

Resolução de Exercícios

Este é um módulo de resolução de exercícios. Aqui resolvemos exercícios que trabalham de maneira conjunta todos os conceitos vistos nos módulos do 6º ano.

7^o Ano do Ensino Fundamental

Números Inteiros e Números Racionais

São apresentados os conceitos de números inteiros e racionais e suas propriedades, explorando o tema via exemplos, exercícios teóricos e também contextualizados.

Porcentagem e Juros

São apresentados os conceitos de juros simples e compostos e são executados muitos exemplos e exercícios envolvendo situações do dia a dia, como poder de decisão de compra, analisando descontos e aumentos. É feita também uma aula apresentando as funções básicas da calculadora.

Notação algébrica e introdução às Equações

Esse é um Módulo mais curto no qual o aluno é preparado para começar a estudar o conteúdo das equações. Apresentamos as ideias de sentenças matemáticas e de notação algébrica fazendo diversos exemplos e exercícios.

Equações e Inequações do Primeiro Grau

Começamos este módulo apresentando formalmente o conceito de equação. Trabalhamos principalmente com equações de primeiro grau com uma variável, mas introduzimos em alguns momentos equações com duas ou mais variáveis. Num segundo momento, expomos o conceito de inequação e discutimos a diferença com o conceito de equação. Também apresentamos exemplos e resoluções de exercícios.

Razões e Proporções

Neste módulo são apresentadas as noções de razões e proporções. São discutidas várias propriedades de proporções e são feitos diversos exemplos e exercícios. Em seguida, passamos a apresentar as ideias de números diretamente e inversamente proporcionais. Terminamos o módulo com os tópicos de regra de 3 simples e composta, resolvendo vários exercícios.

O Plano Cartesiano e Sistemas de Equações

Desta vez apresentamos o Plano Cartesiano, que é uma ferramenta simples e poderosa para analisar equações geometricamente. Em seguida, são apresentados os sistemas de equações de primeiro grau em duas incógnitas e ensinados alguns métodos de resolução destes. Também é explorado um pouco da interpretação geométrica que estes sistemas de equações possuem no Plano Cartesiano.

Noções Básicas de Estatística

Neste módulo aprenderemos qual o objetivo da Estatística, organizar e analisar dados. Os dados serão apresentados de diversas formas diferentes e será discutido como interpretá-los. Para a análise dos dados serão definidos parâmetros (Média Aritmética, Mediana, Moda), que nos ajudarão a tirar propriedades quantitativas e qualitativas deles.

8^o Ano do Ensino Fundamental

Potenciação e Dízimas Periódicas

Neste Módulo apresentamos noções básicas sobre potenciação. Apresentamos também as noções de notação científica, dízima periódica, frações geratrizes e números irracionais e reais.

Expressões Algébricas e Polinômios

Neste Módulo trabalhamos com os conceitos de números irracionais e reais, expressões algébricas, valor numérico de expressões algébricas, monômios e polinômios.

Produtos Notáveis e Fatoração de Expressões Algébricas

Neste Módulo apresentamos diversos exemplos de produtos notáveis, assim como vários exemplos e exercícios resolvidos envolvendo tais produtos.

Porcentagem

Neste Módulo abordamos o tema “Porcentagem”. Isto é feito principalmente através da resolução de exemplos e exercícios.

Sistemas de Equações do Primeiro Grau

Neste Módulo trabalhamos com sistemas de equações do primeiro grau. Tal tema é abordado principalmente através da resolução de exemplos e exercícios.

Números Naturais: Contagem, Divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana

Neste Módulo abordamos os temas Números Naturais, problemas de contagem, divisibilidade e Teorema da Divisão Euclidiana. Tais temas são recorrentes no Ensino Fundamental, porém aqui são tratados de maneira mais formal e aprofundada do que em níveis anteriores.

Frações Algébricas

Neste Módulo introduzimos o tema frações algébricas. Relacionados a este assunto apresentamos noções básicas como soma, subtração, multiplicação, divisão e simplificação.

Equações e Sistemas de Equações Fracionárias

Neste Módulo trabalhamos com equações e sistemas de equações fracionárias. Isto é feito, basicamente, através da resolução de exemplos e exercícios.

Miscelânea

Neste Módulo, apresentamos a resolução de exercícios envolvendo conceitos trabalhados ao longo de diversos módulos (do 8º ano) aqui apresentados.

Elementos Básicos de geometria plana – Parte 1

Neste primeiro módulo apresentamos alguns conceitos básicos de geometria plana: ponto, reta, ângulo e retas paralelas cortadas por uma transversal e classificação de triângulos.

Elementos básicos de geometria plana – Parte 2

Neste segundo módulo básico de geometria plana nos concentramos no estudo dos triângulos. Em especial, aprendemos a identificar triângulos congruentes e discutimos a desigualdade triangular e aplicações.

Elementos básicos de geometria plana – Parte 3

Neste terceiro módulo de geometria plana estudamos: quadriláteros, pontos notáveis no triângulo, arcos e ângulos na circunferência, quadriláteros inscritíveis e circunscritíveis.

9^o Ano do Ensino Fundamental

Grandezas e Unidades de Medida

Neste módulo apresentaremos as noções de grandezas físicas e de suas unidades de medida. Discutiremos como representar tais medidas no estudo da Física e como manipulá-las algebricamente. Estudaremos, em especial, os conceitos de algarismos significativos, notação científica, ordem de grandeza e a conversão de unidades de medida.

Cinemática Escalar

Neste módulo estudamos a Cinemática Escalar, que se propõe a analisar o movimento de corpos em situações em que as grandezas físicas a ele associadas – como posição, velocidade e aceleração – podem ser tratadas como grandezas escalares. Discutiremos os conceitos de velocidade média, aceleração média e velocidade relativa e analisaremos os movimentos retilíneos uniforme e variado.

Introdução à Dinâmica

Neste módulo estudamos os conceitos básicos da Dinâmica, ramo da Física que se propõe a analisar as causas do movimento. Apresentamos a noção de força, descrevendo os principais exemplos, e discutimos as três Leis de Newton. Ilustramos nosso estudo por meio de exemplos clássicos, como planos inclinados e polias, e da resolução de exercícios.

Termologia

A Termologia é a área da Física que estuda o calor, sua transmissão e seus efeitos sobre a matéria. Neste módulo, estudamos conceitos de Termometria, que analisa as medições de temperatura e suas escalas, e de Calorimetria, que descreve a transmissão do calor e algumas de suas consequências, como as mudanças de estado físico e os fenômenos de dilatação e contração.

Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales

Neste Módulo apresentamos os conceitos de segmentos comensuráveis e incomensuráveis e de semelhança entre figuras e polígonos focando principalmente no caso de semelhança entre triângulos. Apresentamos também o Teorema de Tales juntamente com algumas consequências. Por fim, trabalhamos com várias relações métricas no triângulo retângulo, entre as quais se destaca o famoso Teorema de Pitágoras.

Triângulo Retângulo, Lei dos Senos e Cossenos, Polígonos Regulares

Neste Módulo apresentamos algumas razões trigonométricas no triângulo retângulo, a saber, seno, cosseno e tangente. Apresentamos também as famosas Lei dos Cossenos e Lei dos Senos e ao final exploramos diversas relações métricas em polígonos regulares tais como o triângulo equilátero, o quadrado e o hexágono.

Áreas de Figuras Planas

Neste Módulo estudamos áreas de figuras planas, mais precisamente, apresentamos formas para o cálculo de áreas de diversos tipos de figuras planas.

Problemas envolvendo Áreas

Neste módulo resolvemos diversos problemas cujas soluções exploram propriedades de áreas de figuras planas.

Teorema de Pitágoras e Aplicações

O Teorema de Pitágoras já aparece no Módulo Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Aqui o principal interesse é apresentar outras demonstrações, em geral baseadas na ideia de decompor e rearranjar figuras ou comparar áreas. Apresentamos também algumas aplicações e uma interessante generalização do Teorema de Pitágoras, que relaciona áreas de figuras semelhantes desenhadas sobre os lados de um triângulo retângulo.

Equações do Segundo Grau

Neste Módulo estudamos o tema “equações do 2^o grau”. Entre outras coisas, apresentamos alguns métodos de resolução de equações do 2^o e estudamos relações entre coeficientes e raízes.

Funções - Noções Básicas

Neste Módulo damos início ao estudo de funções. Apresentamos noções de domínio, contradomínio, imagem, injetividade, sobrejetividade, bijetividade, função real de variável real, plano cartesiano, gráfico de uma função, composição de funções, função inversa, além da resolução de diversos exercícios.

Função Afim

Neste Módulo estudamos um tipo particular de funções conhecido como função afim. Apresentamos propriedades básicas, gráficos e a resolução de diversos exercícios.

Introdução à Função Quadrática

Neste pequeno módulo iniciamos o estudo de um tipo de função chamada de função quadrática. Apresentamos uma forma de escrevê-la que possibilita o estudo de máximos e mínimos e aplicamos isso na resolução de problemas.

Quadriláteros

Neste módulo estudamos várias propriedades de quadriláteros. Começamos com os quadriláteros inscritos e circunscritos. Estudamos também a relação de Euler para quadriláteros.

Conjuntos

Este módulo traz noções básicas de conjuntos, operações entre conjuntos e suas propriedades. Além disto, trabalha-se os conceitos de conjuntos numéricos: os naturais, os inteiros, os racionais e os reais.

Estudo de Triângulos - Teorema de Menelaus e Relação de Stewart

Neste módulo aprendemos duas ferramentas na resolução de problemas com triângulos; o Teorema de Menelaus e a Relação de Stewart.

Óptica I

Neste módulo fazemos uma introdução à Óptica, área da Física que estuda os fenômenos e propriedades da luz, suas interações com a matéria e certos dispositivos como espelhos e lentes. Abordamos este tema do ponto de vista da Óptica Geométrica, que descreve a propagação da luz pelo conceito de raio luminoso – idealização da trajetória da luz – e utiliza ferramentas de Geometria para analisar seu comportamento, bem como a formação de imagens.

Óptica II

Neste módulo aplicamos os conhecimentos obtidos no módulo anterior para o estudo de espelhos planos, espelhos esféricos e lentes delgadas. Investigamos os diferentes tipos de espelhos esféricos e lentes e as imagens produzidas por eles, além de mostrar aplicações no dia a dia do uso de tais dispositivos ópticos.

Eletromagnetismo

O Eletromagnetismo é a área da Física que estuda fenômenos elétricos, como corpos eletrizados, circuitos elétricos; além de fenômenos magnéticos, como corpos magnetizados (ímãs) e interações com o campo magnético, por exemplo, o funcionamento da bússola; e ainda estuda fenômenos eletromagnéticos, como a geração de corrente elétrica nas hidrelétricas e até mesmo ondas eletromagnéticas, que explicam o fenômeno da luz.

1^o Ano do Ensino Médio

Cinemática Unidimensional. 1 – Movimento Uniforme

Neste módulo estudamos as noções básicas do movimento escalar no caso mais simples: Movimento Uniforme (M.U.). Introduzimos ao aluno os conceitos de deslocamento e velocidade no contexto escalar.

Cinemática Unidimensional 2 -– Movimento Uniformemente Variado

Neste módulo damos continuidade ao estudo da Cinemática Unidimensional fazendo uma análise gráfica do Movimento Uniforme (M.U.) e do Movimento Uniformemente Variado (M.U.V.).

Função Quadrática

Neste módulo, estudamos um tipo particular de funções conhecido como funções quadráticas. Apresentamos propriedades básicas, gráficos e a resolução de diversos exercícios.

Leis dos Senos e dos Cossenos

Estudaremos o seno, o cosseno e a tangente de um ângulo agudo. Concluiremos as leis dos senos e dos cossenos, além da relação fundamental da trigonometria.

Círculo Trigonométrico

Neste módulo estudaremos a circunferência trigonométrica. Na primeira parte, aprendemos a converter graus para radianos (e vice-versa) e a reduzir um ângulo à sua primeira volta. Na segunda parte, discutimos sobre seno, cosseno e tangente, e sobre as principais relações trigonométricas. Na terceira parte, estudamos as funções cotangente, secante e cossecante.

Progressões Aritméticas

Este módulo se concentra em um tipo especial de sequência de números: a Progressão Aritmética (PA). Inicialmente, aprendemos como conseguir um termo qualquer, tendo outro como referência, e como somar os termos desta sequência. Em seguida, falamos sobre Propriedades Aritméticas de PA com razão e termos inteiros. Por fim, mostramos uma generalização do conceito de PA, as PAs de ordem superior.

Progressões Geométricas

Neste módulo nos concentramos em outro tipo especial de sequência: Progressão Geométrica (PG). Aprendemos como conseguir uma lei de formação e como somar os termos de uma PG. É enfatizada a forma de como poderemos chegar a estes resultados, que é simples de ser aplicada. Apresentamos problemas variados que requerem conhecimentos de outras partes da Matemática, como de Geometria. Por fim, mostramos como abordar problemas que saem um pouco do usual.

Matemática Financeira

Neste módulo, aprendemos com situações cotidianas como usar Matemática em transações finaceiras básicas. Conceitos como juros, inflação, financiamentos, tão importantes para o bom aproveitamento do dinheiro, são introduzidos e explicados. Por fim, são explicados as duas principais formas de quitar um financiamento no Brasil: SAC e PRICE.

Função Exponencial

Neste módulo nos dedicamos a definir formalmente a função exponencial. Primeiro nos dedicamos a estender o conceito de potenciação para expoentes que não são números naturais. Verificamos as propriedades básicas vitais para as resoluções dos exercícios: Equações, Inequações e Análises Gráficas.

Função Logarítmica

Neste módulo aprendemos o que é o logaritmo. Motivando sua definição, provamos diversas propriedades, aplicando-as. Por fim, olhamos o logaritmo como uma função e construímos seu gráfico.

Estatística Básica I

O objetivo deste módulo é introduzir os conceitos básicos de estatística e aplicá-los na análise de dados. São apresentadas as principais medidas de posição (Mediana, Moda e Média) e de dispersão (Amplitude, Distância Interquartil, Desvio Médio, Desvio Padrão, Variância). Introduzimos também variados conceitos de média (Harmônica, Quadrática, Geométrica e Aritmética) e estabelecemos uma relação entre elas.

Inequações Produto e Quociente de Primeiro Grau

Neste módulo estudamos as inequações produto e quociente com fatores de primeiro grau fazendo uso do estudo do sinal das funções afins.

Inequações Produto e Quociente do Segundo Grau

Neste módulo estudamos as inequações produto e quocientes com fatores do segundo grau fazendo uso do estudo do sinal das funções quadráticas.

Inequações Mistas e Sistemas

Neste módulo estudamos as inequações mistas e sistemas de inequações mistas quem envolvem produto e quociente de funções de primeiro e de segundo grau.

Cinemática Vetorial 1 – Vetores no Plano

Neste módulo introduziremos operações com vetores no plano. Estas noções fundamentais nos permitirão, em módulos subsequentes, descrever os aspectos vetoriais do movimento.

Cinemática Vetorial 2

Neste módulo estudaremos casos em que há variação não só da intensidade, mas também da direção dos vetores de posição e velocidade. Descreveremos os conceitos de velocidade vetorial e aceleração vetorial. Estudaremos detalhadamente a composição de movimentos assim como os casos de lançamentos horizontais e oblíquos.

Cinemática Angular

Neste módulo continuamos o estudo da Cinemática Vetorial, aplicando as ideias introduzidas a movimentos circulares uniformes e uniformemente variados.

Dinâmica I

Neste módulo iniciaremos o estudo da Dinâmica. Enunciaremos as três Leis de Newton e aplicaremos essas leis na resolução de exercícios sobre diversos sistemas, como, por exemplo: interação entre blocos, polias e plano inclinado.

Dinâmica II

Neste módulo continuaremos o estudo da Dinâmica. Estudaremos forças dissipativas, como força de atrito e de resistência do ar. Além disso, faremos um estudo das forças em movimentos curvilíneos; em particular, a força centrípeta.

Trabalho e Energia

Neste módulo introduzimos o conceito de trabalho e, levando em consideração a rapidez com que um trabalho é realizado, definimos a grandeza física denominada potência. Introduzimos também o conceito de energia e estudamos diversas formas de energia assim como as leis de conservação da energia.

Funções Trigonométricas

Neste módulo abordamos funções trigonométricas, começando com a definição e principais propriedades da função seno, seguido pela função cosseno, e finalizando com as propriedades da função tangente e cotangente, incluindo seus períodos e gráficos no Geogebra.

Trigonometria - Fórmulas de adição e duplicação de arcos

Neste módulo estudamos fórmulas para calcular o seno, o cosseno, e a tangente de a+b, de 2a e de a-b, onde a e b são dois arcos no círculo trigonométrico.

2^o Ano do Ensino Médio

Óptica Geométrica I – Conceitos básicos, reflexão da luz e espelhos planos

Neste módulo iniciamos o estudo da Óptica Geométrica, ramo da física que estuda os fênomenos luminosos. interpretando a propagação da luz por meio de raios luminosos e utilizando ferramentas de Geometria. Descrevemos o princípio de propagação retilínea da luz, alguns fenômenos luminosos e as leis da reflexão, que permitem estudar a formação de imagens por espelhos planos. Discutiremos como são formadas imagens de corpos pontuais e extensos nesses espelhos e as noções de campo visual, rotação, translação e associação de espelhos planos.

Óptica Geométrica II – Espelhos esféricos

Neste módulo daremos prosseguimento ao estudo da Óptica Geométrica e estudaremos os espelhos esféricos. Descreveremos seus principais elementos, as condições de nitidez de Gauss, sua classificação e como se comportam os raios luminosos por eles refletidos, além de analisar a formação de imagens nestes espelhos. Faremos ainda o estudo analítico dos espelhos esféricos por meio das equações dos pontos conjugados e do aumento linear transversal

Óptica Geométrica III – Refração da Luz

Neste módulo daremos continuidade ao estudo da Óptica Geométrica e abordaremos o fenômeno da refração da luz. Discutiremos as propriedades básicas da refração, o índice de refração de um meio e as leis que governam tal fenômeno e estudaremos alguns sistemas ópticos que têm a refração como princípio de funcionamento: como o dioptro plano e os prismas.

Princípios Básicos de Contagem

Estudaremos os métodos básicos de contagem em análise combinatória. Veremos o princípio fundamental de contagem, permutações simples e com repetição e finalizaremos com o estudo de combinação.

Métodos Sofisticados de Contagem

Começaremos o estudo de técnicas mais sofisticadas, como permutação circular, combinação completa e o Princípio das Casas dos Pombos.

Aplicações das Técnicas Desenvolvidas

Aplicaremos os métodos aprendidos em tópicos relacionados a combinatória. Estudaremos também alguns erros comuns em soluções de problemas.

Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal

Estudaremos o desenvolvimento binomial. Entenderemos a relação entre o Binômio de Newton e o Triângulo de Pascal, além de consequências como os Teoremas das Linhas, das Colunas e das Diagonais. Encerramos o Módulo estudando o desenvolvimento multinomial.

Introdução à Probabilidade

Iniciaremos nosso estudo de probabilidade vendo os conceitos básicos como espaço amostral e eventos. Mostraremos como a probabilidade é calculada em espaços equiprováveis e encerraremos o módulo calculando a probabilidade da união de dois eventos.

Probabilidade Condicional

Estudaremos o que são eventos independentes. Falaremos também da Lei Binomial da Probabilidade.

Probabilidade – Miscelânea de Exercícios

Neste módulo final de probabilidade faremos exercícios utilizando as ferramentas desenvolvidas nos dois módulos anteriores. Resolveremos também alguns exercícios nos quais o cálculo da probabilidade está relacionado com ferramentas geométricas.

Trigonometria I

Neste módulo veremos como medir ângulo além das principais funções trigonométricas com as quais se trabalha em matemática, tais como seno, cosseno, tangente, entre outras. Veremos as relações entre as funções trigonométricas, além das ideias para resolver problemas de geometria e álgebra envolvendo os conceitos aqui apresentados.

Trigonometria II

Este módulo trabalha as fórmulas de seno e cosseno da soma e da diferença entre dois ângulos. Trabalhamos também outras fórmulas úteis para a resolução de exercícios envolvendo trigonometria.

Trigonometria III

Este módulo define funções trigonométricas, que associam a cada ponto o seu seno, cosseno, tangente ou variações e propriedades interessantes. Os exercícios são focados em determinar domínios em que determinadas funções trigonométricas estão bem definidas e também resoluções de inequações trigonométricas.

Introdução à Inferência Estatística

Neste módulo veremos como a Estatística Inferencial pode nos ajudar a obter, com um bom nível de confiança, certas conclusões sobre um grupo analisando apenas um grupo menor.

Óptica Geométrica IV – Lentes

Neste módulo continuaremos nosso estudo de óptica geométrica discutindo as lentes e seu comportamento óptico. Além de suas propriedades básicas, estudaremos a formação de imagens do ponto de vista geométrico, utilizando os raios particulares para descrever qualitativamente tais imagens e, do ponto de vista analítico, relacionando as características da lente, do objeto e da imagem por meio de equações matemáticas.

Óptica Geométrica V – Instrumentos Ópticos

Neste módulo estudamos o funcionamento de alguns instrumentos ópticos comuns em nosso cotidiano e que utilizam espelhos e lentes em sua operação. Mais especificamente, discutimos sobre instrumentos de projeção – câmeras fotográficas e projetores – e instrumentos de observação, como lupas, microscópios, e lunetas. Estudamos ainda o princípio de funcionamento do olho humano, do ponto de vista da Óptica Geométrica, e algumas anomalias da visão.

Movimento Harmônico Simples

Neste módulo estudamos o movimento harmônico simples, referido muitas vezes pela sigla MHS. Tal movimento, caracterizado por uma trajetória retilínea e pela oscilação periódica em torno de um ponto de equilíbrio, tem velocidade e aceleração variáveis e é gerado, por exemplo, por forças elásticas, como o caso da força realizada por molas no regime em que elas não estão muito esticadas nem muito comprimidas.

Ondas

Neste módulo começaremos a estudar fenômenos ondulatórios. Caracterizaremos o que é uma onda, bem como suas propriedades principais. Por fim, estudaremos os fenômenos de reflexão, refração e de difração.

Interferência de ondas

Neste módulo apresentamos um dos fenômenos ondulatórios mais importantes, conhecido pelo nome de interferência, que ocorre quando duas ou mais ondas superpõem-se no espaço.

3^o Ano do Ensino Médio

Eletrostática 1 - Fundamentos, Eletrização de Corpos e Força Elétrica

Neste primeiro módulo apresentamos alguns conceitos elementares de Eletrostática e, em seguida, faremos uma análise da interação entre cargas através da força elétrica.

Eletrostática 2 - Campo Elétrico

Neste módulo faremos uma análise do campo elétrico gerado por uma ou mais cargas elétricas.

Eletrostática 3 - Potencial Elétrico

Nessas aulas apresentaremos dois exercício que combinam os conceitos que temos trabalhado sobre campo elétrico, com a análise de vetorial das forças, buscando unificar o novo material com o das séries anteriores.

Geometria Espacial 1 – Fundamentos

Neste primeiro Módulo de geometria espacial apresentamos alguns dos principais elementos fundamentais: pontos, retas e planos no espaço; ângulos e distâncias; poliedros.

Eletrodinâmica 1 - Fundamentos, Leis de Ohm e Aplicações

Os circuitos elétricos são parte fundamental da vida moderna. Este módulo tem por finalidade introduzir o aluno à análise dos circuitos elétricos, para assim entender o que de fato está acontecendo em situações do seu cotidiano. Entre outras coisas, estudaremos: corrente elétrica; resistor elétrico; efeito Joule; associação de resistores; resistores em curto-circuito; potência; e energia elétrica.

Geometria Espacial 2 - Volumes e áreas de prismas e pirâmides

Neste segundo Módulo de geometria espacial iniciamos o estudo de volumes. Com o uso do Princípio de Cavalieri deduzimos fórmulas para o cálculo do volume de prismas e pirâmides. Calculamos também a área da superfície desses sólidos.

Eletrodinâmica 2 - Circuitos Elétricos Mais Complexos

Trechos de circuitos elétricos e malhas elétricas com análises mais sofisticadas, incluindo dispositivos que influenciam em suas configurações, e aparelhos de medições elétricas.

Geometria Espacial 3 - Volumes e Áreas de Cilindros, Cones e Esferas

Neste terceiro módulo de geometria espacial expandimos nossa análise de volumes e áreas para além do mundo dos poliedros. Apresentamos os cilindros, os cones e as esferas e, novamente com o uso do Princípio de Cavalièri, deduzimos fórmulas para o cálculo dos volumes destes sólidos.

Eletrodinâmica 3 - Geradores

Neste módulo damos continuidade ao estudo da Eletrodinâmica, introduzindo os geradores elétricos e estudando sua influência em circuitos e malhas elétricas.

Geometria Analítica 1

Este é o primeiro módulo de Geometria Analítica. Neste módulo vemos coordenadas e distâncias no plano cartesiano, equações da reta e as relações de paralelismo e perpendicularismo.

Geometria Analítica 2

Este é o segundo módulo de Geometria Analítica. Neste módulo cobrimos equações de reta e circunferência. Também estudamos áreas e ângulos.

Vetores em R² e R³

Neste módulo, introduzimos a noção de vetor, juntamente com várias aplicações desta teoria. Começamos com a definição e introduzimos o conceito de soma e produto de vetor por escalar. Trabalhamos também as várias formas de produtos envolvendo vetores.

Matrizes e sistemas lineares

Neste módulo trabalhamos os conceitos de matriz e de sistema linear. Começamos com a introdução de uma matriz e de suas principais propriedades. Introduzimos as operações entre matrizes. Num segundo momento, iniciamos o estudo de sistemas lineares, introduzimos a notação matricial e estudamos os principais métodos de resolução de sistemas lineares.

Sistemas Lineares e Geometria Analítica

Este módulo é dedicado ao estudo da resolução de sistemas lineares através de conceitos provenientes de geometria analítica.

Cônicas

Este módulo é sobre as curvas obtidas através da interseção de um plano com um cone: a elipse, a hipérbole e a parábola. Além disto, é apresentada a definição destas curvas como lugar geométrico, a dedução das equações de cada uma e seus principais parâmetros, além de aulas de exercícios.

Números Complexos - Forma Algébrica

Neste módulo introduzimos os números complexos na sua forma algébrica. Trabalhamos suas propriedades básicas e as operações elementares.

Números Complexos – Forma Geométrica

Neste módulo trabalhamos com os números complexos a partir da sua interpretação no plano de Argan-Gauss. Mostramos como esta interpretação pode ser útil para realizar as operações básicas.

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos

Neste módulo introduzimos as funções polinomiais com coeficientes complexos e estudamos suas propriedades básicas, motivados pela resolução de equações algébricas.

Equações Algébricas-Propriedades das Raízes

Neste módulo estudamos propriedades das raízes de equações algébricas usando as propriedades dos polinômios.

Equações Algébricas-Raízes e Coeficientes

Neste módulo estudamos a relação entre as raízes de uma equação algébrica e os coeficientes desta equação. Equações Algébricas -Propriedade das raízes

Receptores e Leis de Kirchhoff

Neste módulo introduzimos o conceito de receptor elétrico e, posteriormente, fazemos uma análise de circuitos elétricos envolvendo geradores e receptores através das Leis de Kirchhoff.

Magnetismo 1 – Ímãs e Força Magnética

Neste módulo apresentamos os principais conceitos relacionados ao magnetismo. Começamos caracterizando o campo magnético produzido pelos ímãs e, em seguida, discutimos o movimento de cargas elétricas na presença de campos magnéticos.

Magnetismo 2 – Fontes de Campo Magnético e Indução Eletromagnética

Neste módulo estudaremos o campo magnético gerado por cargas em movimento e a indução eletromagnética. Apresentaremos a Lei de Lenz e a Lei de Faraday.

Relatividade Especial

Neste módulo estudaremos os princípios da teoria da relatividade especial. Apresentaremos seus postulados e estudaremos a cinemática e a dinâmica relativística.

Tópicos Adicionais

Introdução à Lógica Matemática

Neste módulo introduziremos a linguagem usada para validar as argumentações matemáticas. Falaremos sobre Definições, Teoremas e algumas Técnicas de Provas. A preocupação como o rigor das argumentações é nosso guia para este módulo.

Indução Matemática

Indução matemática é uma técnica geralmente usada para demonstrar uma afirmação sobre todos os números naturais. O método consiste em dois passos. O primeiro passo, conhecido como base de indução, consiste em provar a afirmação para o primeiro número natural. O segundo passo, conhecido como passo indutivo, consiste em provar que a veracidade da afirmação para um número natural qualquer implica a veracidade da afirmação para o próximo número natural.

Números Naturais – Representação, Operações e Divisibilidade

As aulas deste módulo foram originalmente gravadas tendo como foco o Programa de Iniciação Científica Jr. da OBMEP. Nestas aulas, além de discutir o sistema decimal de representação dos Números Naturais, revisitamos e aprofundamos as noções de múltiplos e divisores, Números Primos (provamos aqui que existem infinitos deles), Mínimo Múltiplo Comum e Máximo Divisor Comum. Aqui, aproveitamos para dar mais ênfase, por exemplo, ao Algoritmo de Euclides, que tem papel importante no estudo das Equações Diofantinas, as quais serão abordadas em outro módulo.

Sistemas de Numeração e Paridade

Na primeira parte deste módulo discutimos o sistema de representação posicional em base 10 e também em outras bases. Observar a paridade de um número natural é, simplesmente, observar se este número é par ou ímpar. Veremos na segunda parte deste módulo que, apesar de muito simples, este conceito permite resolver diversos problemas que a princípio podem parecer muito difíceis. Neste contexto, “resolver um problema” geralmente significa “demonstrar que o problema não tem solução”.

Algoritmo de Euclides Estendido, Relação de Bézout e Equações Diofantinas

O principal objetivo deste módulo é desenvolver um método para estudar as chamadas Equações Diofantinas Lineares, que são equações da forma [tex]ax+by=c[/tex], onde: [tex]a[/tex], [tex]b[/tex] e [tex]c[/tex] são números inteiros conhecidos; [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] são as incógnitas, para as quais somente são permitidos valores inteiros. Para isto precisaremos aprofundar nosso estudo sobre Máximo Divisor Comum. Veremos que, dados dois inteiros [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex], uma extensão do Algoritmo de Euclides permite encontrar inteiros [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] tais que [tex]an+bm=\text{mdc}(a,b)[/tex]. Esta é a chamada Relação de Bézout, da qual podemos concluir vários fatos envolvendo divisibilidade.

Aritmética dos Restos

Você consegue pensar em alguma situação de seu cotidiano em que a igualdade 7 + 6 = 1 faz algum sentido? Neste módulo apresentaremos a Aritmética Modular: a aritmética que lida com os restos das divisões por um determinado número. Veremos que operar com os restos da divisão permite resolver problemas muito interessantes.

Teorema Chinês do Resto

Neste módulo desenvolvemos uma ferramenta útil no estudo de sistemas lineares de congruências. O Teorema Chinês do Resto determina um número [tex]n[/tex] que, ao ser dividido por determinados números [tex]m_1, m_2, \ldots, m_k[/tex] deixa determinados restos [tex]a_1, a_2, \ldots, a_k[/tex], respectivamente. Neste módulo usamos conhecimentos explorados, anteriormente, no módulo “'Aritmética dos Restos'”.

Métodos de Contagem e Probabilidade - PIC

As aulas desse módulo foram originalmente gravadas tendo como foco o Programa de Iniciação Científica Jr. (PIC) da OBMEP. As aulas abordam métodos básicos de contagem, um assunto instigante que não se baseia na aplicação de fórmulas prontas. Não há pré-requisitos. O tema é acessível aos alunos do Ensino Fundamental.

Desigualdades

Desigualdade é um conceito fundamental em Matemática; como nem tudo pode ser calculado de maneira exata, é útil saber controlar quão grande determinada quantidade pode ser. Neste módulo introduzimos algumas das desigualdades mais importantes, em nível elementar. Apresentamos as demonstrações de cada desigualdade, assim como aplicações a problemas e como interpretá-las relacionando-as com problemas do mundo real, como comparar tipos de taxas de juros e encontrar soluções otimizadas.

Criptografia RSA

A criptografia estuda os métodos para codificar uma mensagem de modo que só seu destinatário legítimo consiga interpretá-la. Neste módulo vemos como propriedades dos números inteiros são aplicadas em um sistema de criptografia específico, o chamado RSA, que é o mais usado em uma grande variedade de transações que são feitas de maneira eletrônica. O sistema RSA baseia-se no fato de que, embora seja fácil encontrar dois números primos de grandes dimensões (por exemplo, 100 dígitos), conseguir fatorar o produto destes tais dois números é considerado computacionalmente complexo.

Construções Geométricas com Régua e Compasso

Aqui abordamos construções geométricas usando apenas régua (não graduada) e compasso. Iniciamos com construções elementares, como a mediatriz de um segmento e a bissetriz de um ângulo, que servem de base para outras construções mais elaboradas. Mais importante do que o desenho em si é a justificativa de por que as construções estão corretas. Para isto usamos conhecimentos de Geometria Plana desenvolvidos nos módulos anteriores.

Recorrências

Sequências aparecem frequentemente em Matemática. Há a sequência dos números naturais, a dos números ímpares, a dos números primos (infinitas!) e outras. Saber descrever bem uma sequência e compreender sua lei de formação é essencial para responder alguns problemas. Uma forma interessante de expressar uma sequência é através de uma recorrência, isto é, expressar o próximo termo da sequência como uma função dos termos anteriores. Neste módulo aprenderemos, através de muitos exemplos, como encontrar recorrências e, em alguns casos especiais, como deduzir uma fórmula fechada para o n-ésimo, termo de uma sequência a partir de uma fórmula de recorrência. Por exemplo, para a famosa sequência de Fibonacci.

Geometria das Transformações Lineares

Neste módulo começamos o estudo das transformações lineares do ponto de vista geométrico. Primeiro definimos o que é uma transformação linear. A partir disto, introduzimos vários exemplos interessantes e usamos o GeoGebra para fazer uma interpretação geométrica.

Operando com Transformações Lineares: Álgebra e Geometria

No módulo anterior introduzimos as transformações lineares do ponto de vista geométrico. Neste módulo a cada transformação linear associaremos uma matriz. Desta forma teremos o ponto de vista algébrico. Discutiremos as operações de composição entre duas transformações lineares, de forma algébrica e geométrica. Também discutiremos a inversão de uma transformação linear.

Introdução à Teoria dos Grafos

O que há em comum entre pontes conectando diferentes regiões de uma cidade, redes de computadores, a malha rodoviária de um país e as relações de amizade entre todas as pessoas do planeta? Apesar de os exemplos acima tratarem de assuntos a princípio nem um pouco relacionados, todos eles tratam de objetos (regiões, computadores, cidades, pessoas) e as conexões entre eles (pontes, fios, cidades, amizades). Se abstrairmos a origem do problema e nos concentrarmos apenas nos objetos e em suas relações, obteremos um grafo. Neste módulo, veremos muitos exemplos de problemas que podem ser representados através de um grafo e aprenderemos propriedades que nos ajudarão a entender melhor estas conexões e suas propriedades.

Determinantes como áreas - Parte 1

Motivados a entender como transformações lineares alteram figuras, neste módulo introduzimos o determinante de dois vetores no plano como área orientada do paralelogramo que eles determinam. A partir disso introduzimos vários exemplos geométricos para discutir como o determinante é afetado por transformações nesses vetores.

Determinantes como áreas – Parte 2

Neste módulo continuamos explorando propriedades do determinante de dois vetores no plano.

Cardinalidade de conjuntos

Como exatamente podemos contar um conjunto? Os pastores da Antiguidade, por exemplo, usavam pedras para contar as suas ovelhas. A cada ovelha eles associavam uma pedra. Veremos que esta noção primitiva é bem próxima da noção matemática de contagem, a qual pode ser estendida para conjuntos infinitos, desenvolvendo o conceito de cardinalidade. Uma pergunta surge naturalmente: existem infinitos maiores que outros? Quando lidamos com conjuntos infinitos, a nossa intuição começa a falhar um pouco. Por exemplo, veremos que embora o conjunto dos números racionais pareça ser maior que o conjunto dos números naturais, eles na verdade possuem a mesma quantidade de elementos. Por outro lado, também veremos que o conjunto dos números reais tem mais elementos.

Tópicos para Professores

Resolução de Problemas na Sala de Aula - 1

Apresentação e orientação para uso do livro Resolução de Problemas na Sala de Aula, oriundo do Programa Oficinas de Formação (PROF), que visa apresentar alternativas de desenvolvimento de questões da OBMEP e outras correlatas, em consonância com os currículos oficiais, na forma de atividades práticas e utilizando a metodologia de Resolução de Problemas para trabalho em sala de aula.

Problemas Resolvidos

Os círculos matemáticos são uma tradição de mais de 100 anos em Moscou e atualmente também são realizados em outros países além da Rússia. Os círculos são reuniões não obrigatórias onde os alunos são orientados por tutores a desenvolver suas habilidade e criatividade em resolver problemas. Estes problemas não são necessariamente vinculados a algum assunto da grade curricular e têm níveis variados de dificuldade. Neste módulo, apresentamos um pouco desta rica cultura matemática russa através da resolução de problemas do livro Círculo Matemático Moscou, Problemas Semana-a-Semana de Sergey Dorichenko.

Problemas dos Círculos Matemáticos - Capítulos 0 e 1

Problemas dos Círculos Matemáticos - Capítulos 2 e 3

Problemas dos Círculos Matemáticos - Capítulo 4

Problemas dos Círculos Matemáticos – Capítulo 5 & 6

Nível de Dificuldade 1

Quatro Partes

Enfeites de Natal

Roupas no Varal

Almoço em Família

Azulejos na Cozinha

Caminho de Figuras

Festa de Aniversário I

Só Quatro Peças

Coral de Natal

Montando um Círculo

Trocando Adesivos I

Cinco Tampinhas

Pista de Dança

A Raposa, o Ganso e o Feijão

Afrânio, o Pesquisador I

Andando de Bicicleta

Arranjo de Flores

Arremesso de Argolas

Bandeirinhas Juninas

Barraca de Alimentos

Brincadeira entre Amigos I

Caça-palavras

Caixinhas de Bombons I

Caminho de Figuras

Camisetas e Círculos

Carro do Sanduíche

Cartas em Ordem

Cestos de Ovos de Páscoa

Círculos Coloridos

Círculos no Triângulo

Cobrindo o Tabuleiro

Código Secreto

Coelhinha Peta

Cofre Misterioso

Concurso de Desenho

Construindo Pipas

Contando Notas

Cores e Formas I

Correndo na Lagoa

Curvilândia

Desafio das Frutas I

Desafio dos Consecutivos I

Desafio dos Insetos

Desafio no Parque

Descobrindo o Caminho

Descobrindo o Número

Desenho na Malha I

Desenhos Iguais

Desenhos Espelhados I

Discos Empilhados I

Doces ou Travessuras

Doze Semáforos

Duas Faces I

Encaixando Botões I

Exposição de Quadros

Fatias de Pizza

Fichas e Flechas I

Fila de Cartas I

Fileiras de Flores

Gincana das Alturas

Gincana do Tabuleiro

Jogo do Camaleão I

Lápis de Cor

Macieiras e Limoeiros I

Manobrando Veículos

Maria-Fumaça

Mel na Colmeia I

Moedas do Vovô I

Montando Figuras

Montando Pizzas

Montando Quadriláteros I

Nenhum Quadrado I

O Almoço dos Pelicanos

O Polvo Feliz

O Robô da Limpeza

Os Chapéus do Mágico

Oito Retângulos

Organizando a Feira

Organizando Flores I

Organizando o Curral I

Ovos no Galinheiro

Palíndromos I

Palitos Coloridos

Palitos e Quadrados I

Palitos e Triângulos I

Peça Quebrada

Peças Giratórias I

Pedras Preciosas

Pipa Colorida

Pomar no Sítio

Quadrado de Dominós I

Quebra-Cabeça Diferente I

Queijos no Labirinto

Saída Estreita I

Salto do Grilo

Sapos Saltitantes I

Sete Patinadoras

Sobrepondo Peças I

Super Fantino I

Tapete de Retalhos I

Tapetes Enrolados I

Tabuleiro Antigo I

Tabuleiro Colorido I

Trancando Portas

Trem de Minas I

Triângulos Amigos

Troca de Etiquetas

Trocando Adesivos I

Ultrapassagens na Estrada I

Vagas Coloridas I

Vira-Vira

Vizinhos

Painel de Fotos

Quatro Rotatórias

Monstros na Roda I

Copiando Formas

Nível de Dificuldade 2

Desafio dos Primos

Roda-Gigante

Caixas de Brinquedos

Jogando Bola

Elevador Quebrado

Jardim de Pinheiros

Quantas Pulseiras?

Dividindo em Partes

Quantos Quadrados?

Jogo de Dardos

Salto de Obstáculos

Barco de Brinquedo

Pedra, Papel e Tesoura

Retirando Fichas

Cactos e Suculentas

Três Trios

Festa de Aniversário II

Desenhos Espelhados II

De Volta ao Planeta Terra

Fichas Empilhadas

Formando Grupos

Colorindo com a Mãe

A Cartola de Clóvis

Afrânio, o Pesquisador II

Ajustando a Temperatura

Árvore no Lago

Bilhetes de Entrada

Brincadeira dos Banquinhos

Brincadeira entre Amigos II

Cactos e Suculentas

Caixinhas de Bombons II

Casinhas Novas

Castelo de Cartas

Cavalo do Xadrez

Circuito das Bandeiras

Coletando Moedas

Cores e Formas II

Corujas para Bruxas

Cubo Numérico

De Volta ao Planeta Terra

Desafio das Frutas II

Desafio dos Botões

Desafio dos Consecutivos II

Desafio dos Copos

Desafio dos Primos

Desenho na Malha II

Desenhos Espelhados II

Dia das Crianças

Discos Empilhados II

Dominó das Frações

Doze Lâmpadas

Duas Faces II

Encaixando Botões II

Encontro de Amigos

Esportes Preferidos

Faces Coloridas

Faixa de Azulejos

Fechaduras Eletrônicas

Feitiço do Dragão

Feitiços Estranhos

Fichas e Flechas II

Fila de Cartas II

Flores no Jardim

Guardando Brinquedos

Hexágonos Coloridos

Jardim Vertical

Jogo do Camaleão II

Jogo das Argolas

Jogo dos Ursos

Labirinto

Lembrando a Senha

Letras nos Dados

Macieiras e Limoeiros II

Mel na Colmeia II

Moedas do Vovô II

Montando Quadriláteros II

Montando Robôs

Nenhum Quadrado II

Número Secreto

O Elevador dos Castores

O Último Vence

Ônibus Escolar

Organizando Flores II

Organizando o Curral II

Palíndromos II

Palitos e Quadrados II

Palitos e Triângulos II

Papeis Coloridos

Peças Coloridas

Peças Giratórias II

Pega-Pega

Promoção Imperdível

Quadrado de Dominós II

Quebra-Cabeça de Presente

Quebra-Cabeça Diferente II

Quebra-Cabeça Geométrico

Robô Pintor

Roda Numérica

Saída Estreita II

Sapo-Rei

Sapos Saltitantes II

Sete Brigadeiros

Sobrepondo Peças II

Subida Escorregadia

Super Fantino II

Tabuleiro Antigo II

Tabuleiro Colorido II

Tapete de Retalhos II

Tapetes Enrolados II

Tartarugas na Areia

Time de Monstros

Trânsito Congestionado

Treinando Pássaros

Trocando Adesivos II

Trem de Minas II

Ultrapassagens na Estrada II

Vagas Coloridas II

A Escada do Bombeiro

Monstros na Roda II

Introdução ao Cálculo

Introdução ao Cálculo – Funções – Parte 1

Neste módulo começamos a revisar os conceitos de funções que serão úteis ao estudo do cálculo diferencial e integral. Falamos de função real, imagem, monotonicidade, máximos e mínimos e composição de funções.

Introdução ao Cálculo – Funções – Parte 2

Neste módulo continuamos a revisar os conceitos de funções que serão úteis ao estudo do cálculo diferencial e integral. Falamos de função injetiva, sobrejetiva, bijetiva, inversa e periódica.

Introdução ao Cálculo – Limites – Parte 1

Neste módulo introduzimos o conceito de limite de uma função. Usamos como motivação o problema da tangente e o cálculo da velocidade instantânea.

Introdução ao Cálculo – Limites – Parte 2

Neste módulo trabalhamos de forma intuitiva com o conceito de limite de uma função. Utilizamos para isto planilhas do Excel e os recursos gráficos do GeoGebra.

Introdução ao Cálculo – Leis do Limite – Parte 01

Neste módulo introduzimos as Leis do Limite. São ferramentas para o cálculo de limites. Resolveremos vários exemplos e provaremos as leis em outro módulo.

Introdução ao Cálculo – Leis do Limite – Parte 02

este módulo trabalhamos de forma intuitiva com o conceito de limite de uma função. Utilizamos para isto planilhas do excel e os recursos gráficos do GeoGebra.

Introdução ao Cálculo – Funções Contínuas

Neste módulo introduzimos o conceito de função contínua em um ponto. Discutimos vários exemplos e definimos continuidades laterais e no intervalo.

Introdução ao Cálculo – Definição de Derivada

Neste módulo introduzimos o conceito de derivada de uma função em um determinado ponto. Relacionamos com o problema da reta tangente e da velocidade instantânea.

Introdução ao Cálculo – Derivada como Função

Neste módulo introduzimos o conceito de derivada como função. Definimos o domínio da função derivada e também definimos derivadas de ordem superior.

Fórmulas de Diferenciação – Exercícios

Neste módulo resolveremos exercícios que envolvem encontrar a derivada de uma função. Estes exercícios colocam em prática as regras de diferenciação aprendidas no módulo anterior.

Derivadas de Funções Trigonométricas

Este módulo está dividido em duas partes. Na parte teórica, temos a prova do Limite Fundamental da Trigonometria e a obtenção das derivadas das principais funções trigonométricas. São elas: seno, cosseno, tangente, secante, cossecante e cotangente. Na segunda parte, resolvemos diversos exercícios que envolvem encontrar derivadas de funções que possuem funções trigonométricas em sua composição.

Regra da Cadeia

Apresentamos a Regra da Cadeia para derivação de funções compostas. Muitos exemplos são resolvidos e, em seguida, fazemos a demonstração da validade da regra. Introduzimos a diferenciação implícita através de exemplos. Também são resolvidos muitos exercícios, inclusive envolvendo o conceito de reta tangente. Apresentamos os Teoremas de Rolle e do Valor Médio, com aplicações. Por fim, introduzimos o conceito de taxa de variação e apresentamos algumas aplicações.